原文
PROBLEM 1. Let A and B denote positive integers such that $A>B$. Suppose ，moreover，that A and B expressed in the decimal system have more than half of their digits on the left-hand side in common. Show that
$$ \sqrt[p]{A} - \sqrt[p]{B} < \frac{1}{p} $$
Holds for $p = 2,3,4,…$
中文版：
问题 1：A 和 B 代表两个正整数，并且 $A>B$ .此外假设，在使用十进制系统表示两数 A 和 B 时，他们从左手边起相同的数都占他们位数的二分之一以上。请证明：
$$ \sqrt[p]{A} - \sqrt[p]{B} < \frac{1}{p} $$
其中 $p = 2,3,4,…$
英文解：
Solution: Since
$$\frac{x^p - y^p}{x-y} = x^{p-1} + x^{p-2}y + \dots + y^{p-1} > py^{p-1}$$
or $y<x$ we obtain, on setting $x^p=A$ and $y^p=B$
$$\sqrt[p]{A} - \sqrt[p]{B} < \frac{1}{p} \sqrt[p]{\frac{(A-B)^p}{B^{p-1}}}$$
Let k be the number of digits of A−B . Then B has at least 2k+1 digits and so $A−B<10^k$ and $B>10^{2k}$ .Thus.
$$\frac{(A-B)^p}{B^{p-1}} < \frac{10^{pk}}{10^{(2p-2)k}} = \frac{1}{10^{(p-2)k}} \leq 1$$
because p is at least equal to 2.Thus $\sqrt[p]{A} - \sqrt[p]{B} < \frac{1}{p}$
中文解释
当然中文解释会把每个步骤都详细说明。首先这是一个英文语文题，你要明白文中说的：that A and B expressed in the decimal system have more than half of their digits on the left-hand side in common。 也就是在使用十进制系统表示两数 A 和 B 时，他们从左手边起相同的数都占他们位数的二分之一以上。这句。在英文中这句话隐含了什么信息呢？
首先两个数相同的位数，然后从左往右数有几位数是完全相同的，那么有多少位相同呢？至少是他们总位数的一半。那么直观的看是什么样的呢，看看下面这两个数吧：
$$ A: 1254559990 $$
$$ B: 1254558390 $$
A 和 B 都有 10 位数，从左往右有 6 个数相同。后面的不一样。
好了，我们现在急需跟随原文进行证明。首先他构造了这样一个式子。(中间的部分有 p 项)
$$\frac{x^p - y^p}{x-y} = x^{p-1} + x^{p-2}y + \dots + y^{p-1} > py^{p-1}$$
这个式子不难证明。大于号左侧的部分是 n 次方差的公式。而大于号需要直接使用 x>y 去替换等号右边的 x。就可得到了。
然后，这里有一个值得注意的点上面式子的 x 和 y 是针对实数的。对于$y<x$的情况我们，我们令 $x^p=A$ 并且 $y^p=B$ 。注意 A 和 B 都是正整数。我们这里的等号是成立的。
好了带入上面的式子整理可得：
$$\sqrt[p]{A} - \sqrt[p]{B} < \frac{1}{p} \sqrt[p]{\frac{(A-B)^p}{B^{p-1}}}$$
好了这道题关键的地方来了。现在我们令 k 为（A-B）拥有的位数。于是我们就知道 B 的位数就至少为 2k+1。 这是为什么呢？
我们回到最开始对那话的解释。可以理解为 A-B 的位数就是 A 和 B 不同的位数。不同的位数我们刚才也知道了必选大于一半。所以 A 和 B 的位数最少最少也得为 2k+1 个。
于是乎，我们得到两个不等式。 $A−B<10^k$ 和 $B>10^{2k}$ 现在代入到上面大根号的位置看看发生了什么。
$$\frac{(A-B)^p}{B^{p-1}} < \frac{10^{pk}}{10^{(2p-2)k}} = \frac{1}{10^{(p-2)k}} \leq 1$$
为啥这里就小于等于1了呢？因为题中说p大于等于2了呗。证明完毕。