从上一章的证明和关心的问题你可以看出来，我是一个比较喜欢关注边缘问题的人，这章也是。对于 e 的 x 次方，有一个梦幻的结论，它的任意阶导数等于他的本身。那么的你下一个问题一定是，为什么是这样的？
在解释这个问题前，我却在思考另外一个问题：如果有一个函数任意阶导数都相同，且等于这个函数本身，那么这个函数是什么？
这便是我们这章研究的问题。如果写的公式点：
$$ 如果 f(x)任意阶导数存在，且满足 f^{(n)}(x)=f^{(n-1)}(x)=…=f''(x)=f'(x)=f(x)；那么全部满足的 f(x)是什么？ $$
首先我们猜想这个结果的形式肯定和 e 的 x 次方有关。因为我们知道 e 的 x 次方就是这样。但是其他的函数呢？还有我们怎么求这么多级的连等都满足的情况呢？
这里我们思考如果 f(x)可以写成报告任意阶导数的形式就好了。那么在研究这个问题的时候，就有操作的可能了。那么 f(x)可以写成包含任意阶导数和的某种形式吗？
还真有这个东西。那就是麦克劳林公式。麦克劳林是个人名，如果你学过《高数》一定对这个名字不陌生，如果你是个高中生，可能一次也没有听说过，不过说起牛顿你一定知道，他是牛顿的学生。如果你读读数学史，会发现那些数学家都是一脉相传的。为了方便高中阶段的非竞赛学生，我会在附录中提到有关麦克劳林公式的证明。（如果你不看，只相信它的结论也是可以继续阅读的）接下来我们复习一下它的形式：
$$ f(x) = f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+…+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n) $$
最后一项是余项，而这个高价无穷小的形式，叫做佩亚诺型的余项。我们先不详细讨论它，这里无非是说前面 n+1 项的和和源函数还有差距，要用余项把这个差距不足。这里我要做一件极其不严谨的事情。我要去掉这个余项。并且认为这里 n 有无穷多项。我有无穷多项，我这里可以相等了吧。(注意这里是不严谨的直觉)
于是我们得到了下面的式子：
$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n $$
我之所以这么写，主要是为了写的少点。你也可以展开来写，这并没有什么什么。并且我们认为函数的 0 阶导数是这个函数本身。
现在我们惊奇的发现，由于我们条件中每个导数都相同。所以，当 x=0 时的值也是相同的。我们提出一个来就得到了下面的形式
$$ f(x) = f(0)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=f(0)e^x=Ce^x $$
哈哈我们又和 e 相见了。注意 f(0)可以为任何一个值，他属于实数集 R.我们不妨就认为它是常数 C.而且验证一下 C=0 的情况下依然成立。$^{[1]}$
这里有一处我的胡思乱想了，如果我们画出这一组函数，我们会惊奇的发现：这些函数恰好平铺了坐标系。我随便给个函数系都有这样的性质吗？或者说这样的函数系可以用来做什么呢？可以进行坐标转换。比如可以把直角坐标系的(x,y)传化成，用这个函数系描述的(x,c)。那么 x,c 如果构成一个圆的方程，那么它在直角坐标系中又是什么样子呢？我也不知道这些思考有什么用，就是单纯好玩。
现在我们回到最初，我们想让每阶导数都相同，推出了 e 的 x 次方的形式。那么如果要暴力去求也是这个结果吗？（顺便一提，也有不暴力的方法，可以用对数函数求导，和反函数求导的性质推到出 e 的 x 次方导数是其本身，有兴趣的可以试试）
$$ f(x) = 1+\frac{x}{1} + \frac{x^2}{1\times2}+…+\frac{x^n}{1\times2\times3…(n-1)\times n} $$
$$ f'(x) = 0+1+\frac{x}{1} + \frac{x^2}{1\times2}+…+\frac{x^{n-1}}{1\times2\times3…(n-1) } $$
我们求导之后，会发现第一项变成了 0,然后每项都往后移动了一位。但是你别忘了，n 是无穷大啊。所以两个式子竟然是相等的。这是我最难以理解的部分。
当然这只是，其导数为其本身的一种解释而已，其实很简单，已经没有什么好说的了。
反到是另外一个问题，让我很着迷。我们刚才推出$Ce^x$这个形式的时候，其实只用到了 x=0 时各阶导数相同的条件。现在有两种可能：
- x=0 时各阶导数相同的条件和 x 为任意非 0 数时各阶导数相同条件是等效的。
- x=0 时各阶导数相同的条件下，可以构造一个其他位置不相同的函数。保证上述条件。
那么那个才是对的呢？这个问题已经和 e 无关了。欢迎有时间讨论吧。
恭喜你，还有最后一章和e相关的内容了，那就是欧拉公式。准备好心情，感受数学的神奇吧。我只是希望你和我一样，再一次爱上数学。
引用
- [1] 此处，吴芳炜同学发现我朋友圈中一张黑板照片上这段证明中的错误。