为什么以“复利的极限”开头呢？因为 e 是在研究这个问题时发现的，也方便你去记忆它的基本形式。而且在高数中也是先学的极限后学的级数。然而 e 还有另外一种形式：
$$ e= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} $$
随便一提这个形式，我第一次见到的时候竟然是毕业后。我的大学朋友康康在留学时，python 老师问的一个题目。具体题目有点忘记了。大概是不重复列表做全排列，要用递归算法实现。如果列表长度为 n 那么。函数调用次数为 F(n)要求 F(n)比上 n!的极限。
我经过一系列推导（考虑到这部书的群体未必要接触编程，我就不推导了），得到的结果的形式中就包含一系列阶乘的倒数和。当时到这部时我花了大概两天时间去寻找这个数的结果。然后一问同学，这也是自然常数。讲道理，我后来产生重新去研究有关于 e 的一切的想法，可能就是从那两天中开始的。
我看到这个形式后最大的疑问是：这个也是 e?
诚然在一些书籍中，这个形式也是 e 的定义。但是单单告诉：“这是定义让你去记住就行”，这样的话是万难让我接受的。毕竟不上学了，不用考试了，自己反而想要弄清楚为什么了。那么我们接下来的内容就是去证明：e 的两种形式为什么是等价的。$^{[1]}$
没有什么特别的技巧。我们先把 e 的基本形式展开试试喽。注意这里我们也不知道会发生什么，但是我们期望除了我们需要的阶乘倒数和的形式外，其他部分是乘以一个 1 或者加上什么一个 0 就最好了。所以我们要记住在下面的推到过程中找阶乘倒数和这个东西。
上面这个就叫脚手架——思维的脚手架。顺便一提，数学家有个坏毛病，他们的证明神奇而又完美，你常常会问，怎么想出来的呢？难道他们的大脑要比我们的更发达。诸如想欧拉这样的大数学家，他们的大脑我敢保证和我们的没有那么本质的区别，而是他们有一套思维的结构，而他们又在完成一次次艰苦的任务后，把脚手架拆了，只留下优美的部分。但是请您放心，我的文章中充满了脚手架。只不过很多都是失败的思维尝试和没用的罢了。
这里先回忆一个知识点：二项式定理
$$ (x+y)^n = C_n^0x^ny^0 +C_n^1x^{n-1}y^1+ …+C_n^{n-1}x^1y^{n-1}+C_n^nx^0y^n $$
或许写的简约一些（关于二项式定理的证明，可以试试写写 n=2 和 n=3 的情况再用数学归纳发去证明）
$$ （x+y)^n = \sum_{i=0}^n C_n^{i}x^{n-i}y^i $$
为了方便起见我们先研究求极限符号里面的内容。
$$ (\underbrace{1}_x+\underbrace{\frac{1}{n}}_y)^n $$
将上面式子中的 x 和 y 带入到二项式定理里面：
$$ =C_n^0(\frac{1}{n})^0 + C_n^1(\frac{1}{n})1 +C_n^3(\frac{1}{n})^3 + … +C_n^{n-1}(\frac{1}{n})^{n-1} + C_n^n(\frac{1}{n})^n $$
到此为止都很简单直白。现在回忆下组合数的公式（就是高中的排列组合中那个组合）
$C_n^i = \frac{n!}{i!(n-i)!}$（顺便一提这个公式一定要理解到并且记牢，我高中时从来没有想到过这个公式会如此的重要！）
$$ = 1+\frac{n!}{1!(n-1)!}\frac{1}{n}+\frac{n!}{2!(n-2)!}\frac{1}{n^2}+\frac{n!}{3!(n-3)!}\frac{1}{n^3}+…+\frac{n!}{(n-1)!1!}\frac{1}{n^{n-1}}+\frac{n!}{n!}\frac{1}{n^n} $$
还记得我们的目标吗？阶乘的倒数和。这里不是有吗？还不快赶紧提出来好好放着，剩下的继续简化，先把阶乘相除计算了，然后看看怎么办。
$$ = 1+1+\frac{1}{2!}\frac{n(n-1)}{n^2}+\frac{1}{3!}\frac{n(n-1)(n-2)}{n^3}+…+\frac{1}{(n-1)!}\frac{n(n-1)…2}{n^{n-1}}+\frac{1}{n!}\frac{n(n-1)..1}{n^n} $$
现在我可以观察一下除了阶乘倒数和的部分，剩下的形式是不是等于 1 就可以了。先随便看一项：
$$ \frac{n(n-1)}{n^{2}} = \frac{n}{n}\frac{n-1}{n} = 1\times(1-\frac{1}{n}) $$
后面的式子推理方法是类似的。把所有的 n 都和上面的多项式分别相乘。
而最后一项比较特殊：其中 1 可以写成。n-(n-1)。于是这一项可以写成：
$$ 1-\frac{n-1}{n} $$
这一项当 n 趋近与无穷大时，也是 1。
于是乎我们就证明了：
$$ \lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n})^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} $$
总结来说也比较轻松。主要是二项式定理展开后构造要证明的形式。记住这个二项式定理，我们后面还有用处。
引用
- [1] 注意：本章证明原方法由王烟濛博士提供。