在原来的 e 的两种形式的等价性证明中，由于使用的符合很容易让人产生误解。原证明，比如下面的。
$$ \lim_{n\to\infty}{(1+\frac{1}{n})}^n=\lim_{n\to\infty} { \left[1+1+\frac{1}{2!}\frac{n(n-1)}{n^2}+\frac{1}{3!}\frac{n(n-1)(n-2)}{n^3}+…+\frac{1}{(n-1)!}\frac{n(n-1)…2}{n^{n-1}}+\frac{1}{n!}\frac{n(n-1)..1}{n^n} \right]}$$
提取出每项阶乘的倒数只有，其余的部分应该都为 1.
但是我们却发现。这项似乎不为 1。比较明显的例子，看最后一项。
$$\frac{n(n-1)..1}{n^n}$$
分子有 n 项，分母也有 n 项。考察前面的项。如第一项为$\frac{n}{n}=1$。而第二项$\frac{n-1}{n}=(1-\frac{1}{n})$,当$n\to\infty$时也为 1。于是我们凭借直觉会觉得后面的每一项都是 1.
但是最后一项却给我们当头一棒。最后一项为$\frac{1}{n}=0$。即便 n 写成$n-(n-1)$的巧妙形式：
$$\frac{n-(n-1)}{n}=1-\frac{n-1}{n}$$
如果你去考察在$n\to\infty$时，上式只能为 0。
难道我们的证明思路有问题？还是说我这两个式子并不相等？
首先，这个 e 的两个形式是肯定相等的。除非我们证明其不相等。
其次我们回顾我们的证明思路，并没有明显的问题。那问题出在哪里呢？
我们符号使用的混乱！
接下来，我要把符号修正后的证明写在下面：
$$\lim_{n\to\infty}{(1+\frac{1}{n})}^n $$
$$ = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n} C_n^i\frac{1}{n^i} $$
$$ = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n} \frac{n!}{i!(n-i)!}\frac{1}{n^i}$$
$$ = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n} \frac{1}{i!} \left[\frac{n!}{(n-i)!}\frac{1}{n^i} \right]$$
考虑中括号内的项,分子和分母都为i项
$$ \frac{n(n-1)…(n-i-1)}{n…n}=1(1-\frac{1}{n})…(1-\frac{i-1}{n}) $$
考虑其形式可以简化为
$$ \prod_{j=0}^{i}(1-\frac{j-1}{n}) $$
于是原式为：
$$ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n} \frac{1}{i!} \left[\prod_{j=0}^{i}(1-\frac{j-1}{n}) \right]$$
在内部对应n来说j是常量。于是可以得到 $$\lim_{n\to\infty}\left[\prod_{j=0}^{i}(1-\frac{j-1}{n}) \right]=1$$
于是原式化为
$$ \lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n} \frac{1}{i!} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$$