终于我们要接触到这个最最常见的指数函数了。
$$ e^x $$
它有着一个迷人的性质，其导数是它本身。但是现在我们先不讨论这个性质。我要关注的是一个边角料的小问题。就是：e 的 x 次方如何可能的？
什么意思？e 是一个实实在在的数！难道指数函数用 e 做底数还要讨论？放心关于这点，我也完全有信心 e 的 x 次是方存在。问题是它的形式。我们来看它的定义：
$$ e^x = \lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n $$
或者
$$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} $$
注意一下原来的形式。在回忆一下 e 的基本定义，会发现：一个外部的 x 次方移动到了里面去了。如下：
$$ e^x = \bbox[yellow]{\left(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n\right)^{x} = \lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n} 【公式一】$$
$$ e^x =\bbox[yellow]{\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\right)^{x} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}}【公式二】$$
(这里的公式一二指黄色的部分)
上面两个计算中的 x 都神奇的穿过了括号，移动到里面去了。为什么？这如何可能呢？
如果非要说这就是定义，这样的话是说不通的。至少在我这里是不认的。凭什么！今天我就要探讨一下。顺便一提这个问题是我写这本书之前最后一个遗留的问题，是最后一个拼图。虽然证明方法很简单，但是魅力很大。
首先我们先来证明一个简单：
$$ \lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} $$
这个形式的证明太简单，这里我不证明了。因为步骤和上一章的证明方法是一样的。无非把其中一个 1 换成 x 而已。
如果你忘记了上一章的证明过程，那么就去翻回去看看吧。注意：这里不要有什么挫败感，如果你读不懂，不是你个人的问题，是写书的人我的问题，是我写的不好。也不要为反复回到前面的章节阅读而急躁，也没有人催你，我们又不是在应试，我们现在要做的就是轻松的去享受探索真知的过程。
那么上面的这个式子说明了什么呢？我们只要证明了【公式一】和【公式二】中的任何一个。另外一个也证明了。接下来我们来证明【公式二】（没有什么特别的原因，我选择了公式二进行的研究，如果你要讲究公式一的证明也可，请自行研究）
那我们怎么研究呢？
我们先回到最基本的定义上。指数函数表示连续的 x 个 e 相乘。那么先来证明个最简单的 x=2 的情况看看能不能受到启发呢！我们写出我们要证的公式，先观察一下。
$$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\times\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{n!} $$
到此为止，我毫无头绪。之所以我还有勇气继续进行推导，完全是因为我事先就知道这个公式是正确的。那怎么继续呢？要大胆猜测！左边是两个 n 项多项式相乘，右边也是个 n 项多项式，那么也就是说，在左边展开的结果进行一系列的重新组合后，又变成了 n 项，并且得到右侧的形式。
问题就在于怎么样的重新组合！
很可惜我们依旧没有什么思路，那我们暴力一点，全部的列出来然后在去看看有什么规律吧。
$$ \begin{array}{c|cccccc} \text{e.e} & \frac{1}{0!} & \frac{1}{1!} & \frac{1}{2!} & \frac{1}{3!} & ... &\frac{1}{n!}\\ \hline \frac{1}{0!} & 1 & 1 & \frac{1}{2!} & \frac{1}{3!} & ... & \frac{1}{n!}\\ \frac{1}{1!} & 1 & 1 & \frac{1}{2!} & ... & *\\ \frac{1}{2!} & \frac{1}{2!} & \frac{1}{2!} & ... & *\\ \frac{1}{3!} & \frac{1}{3!} & ... & * \\ ... & ... & * \\ \frac{1}{n!} & \frac{1}{n!} \end{array} $$
我一开始做这一步的时候，把这个表格给写全了。这个是错误的！想想我们算乘法的时候，一个用过的项就不会再去算第二次了。如果写全了就相当于乘了第二次。这算我把我之前犯的错误记录一下吧。
好了接下来不要眨眼，屏住呼吸。马上就到了展现暴力和颜色美学的时候了。
我们要分组了，怎么分呢？我们斜着分成一组。为了方便我把他们着上不同的颜色。
$$ \begin{array}{c|cccccc} \text{e.e} & \frac{1}{0!} & \frac{1}{1!} & \frac{1}{2!} & \frac{1}{3!} & ... &\frac{1}{n!}\\ \hline \frac{1}{0!} & \color{blue}{1} & \color{red}{1} & \color{blue}{\frac{1}{2!}} & \color{red}{\frac{1}{3!}} & ... & \frac{1}{n!}\\ \frac{1}{1!} & \color{red}{1} & \color{blue}{1} & \color{red}{\frac{1}{2!}} & ... & *\\ \frac{1}{2!} & \color{blue}{\frac{1}{2!}} & \color{red}{\frac{1}{2!}} & ... & *\\ \frac{1}{3!} & \color{red}{\frac{1}{3!}} & ... & * \\ ... & ... & * \\ \frac{1}{n!} & \frac{1}{n!} \end{array} $$
其他项自不必说。为什么想到要这样分组呢？因为我们等式的右侧是个n项多项式。为了保证前后多项式个数相同，很容易想到这样。接下来怎么做呢？既然你已经分好组了，你就已经默认每组得到的都是等式右边的形式了，即都有一个阶乘。那么我们把每组的阶乘都提取出来，看看里面现在长个什么样。结果值得玩味：
$$ \begin{array}{c|cccccc} \text{e.e} & \frac{1}{0!} & \frac{1}{1!} & \frac{1}{2!} & \frac{1}{3!} & ... &\frac{1}{n!}\\ \hline \frac{1}{0!} & \color{blue}{1} & \color{red}{1} & \color{blue}{1} & \color{red}{1} & ... & 1\\ \frac{1}{1!} & \color{red}{1} & \color{blue}{2} & \color{red}{3} & ... & *\\ \frac{1}{2!} & \color{blue}{1} & \color{red}{3} & ... & *\\ \frac{1}{3!} & \color{red}{1} & ... & * \\ ... & ... & * \\ \frac{1}{n!} & 1 \end{array} $$
到这里我还看不出什么。但是隐约间感觉到，每组的这些数存在一定的规则率。这时候我们会到之前将过的二项式定理。下面是它的一般形式。
$$ （x+y)^n = \sum_{i=0}^n C_n^{i}x^{n-i}y^i $$
我们不妨写出三项看看，注意我的着色。
$$ (x+y)^1 = \color{red}{1}x+\color{red}{1}y $$
$$ (x+y)^2 = \color{blue}{1}x^2+\color{blue}{2}xy+\color{blue}{1}y^2 $$
$$ (x+y)^3 = \color{red}{1}x^3+\color{red}{3}x^2y+\color{red}{3}xy^2+\color{red}{1}y^3 $$
…
诸如此类，我不在往下写了。你会发现这些值正好是二项式定理的展开项的系数。如果你好奇于这样神奇结果，不妨去找找杨辉三角（帕斯卡三角）。顺便一提的是，记录中最早发现这个数字三角的并不是杨辉，而是一个叫做贾宪的人，据说还被记录在了永乐大典里。可见，一个发现最重要的是应用而不是最早发现他们的人。如果你将来也有了重大的发现，千万不要像达芬奇一样，不去教导不去传播，虽然是你先知道的，但是对人类的发展却没有什么推动。
好了，现在反过来使用一次二项式定理就可以了。我们会发现每组都是（1+1）的几次方。乘之我们刚才提出来的每组对应的阶乘（希望你没有忘记我们刚才有这个步骤）。就得到了下面的式子。
$$ e.e=1+(1+1)+\frac{(1+1)^2}{2!}+\frac{(1+1)^3}{3!}+…+\frac{(1+1)^n}{n!} $$
两个e相乘如此了。很容易推广到x个e相乘的情况。（这里不给出严格的数据公式了）即：
$$ e^x ={\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\right)^{x} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}} $$
于是就证明完毕了。
最后还要反思一下，这个证明中的一些瑕疵，注意我们的证明中x是个整数，因为我总是在描述“几个”e相乘的问题。这里暗示了x是整数。所以以上证明其实是针对了x是整数的情况。虽然我们很有把握，也比较容易推到出x为有理数的情况。至于x为无理数的证明，就留给爱思考的你了。这也算是对看完这个证明的你的一个奖励。
或者对于最后把x扩展到有理数的证明并不顺利。我们也不要纠结，因为在下一章将会启发你一个更加简单的证明（当然没有上面这么有戏剧性）